a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IA = IB = IC.

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Lại có \(IO_1\perp AB;IO_2\perp AC\) nên tam giác \(IO_1O_2\) vuông tại I.

b) Đầu tiên ta chứng minh kết quả sau: Cho hai đường tròn (D; R), (E; r) tiếp xúc với nhau tại A. Tiếp tuyến chung BC (B thuộc (D), C thuộc (E)). Khi đó \(BC=2\sqrt{Rr}\).

Thật vậy, kẻ EH vuông góc với BD tại H. Ta có \(DH=\left|R-r\right|;DE=R+r\) nên \(BC=EH=\sqrt{DE^2-DH^2}=2\sqrt{Rr}\).

Trở lại bài toán: Giả sử (O; R) tiếp xúc với BC tại M.

Theo kết quả trên ta có \(BM=2\sqrt{R_1R};CM=2\sqrt{RR_2};BC=2\sqrt{R_1R_2}\).

Do \(BM+CM=BC\Rightarrow\sqrt{R_1R}+\sqrt{R_2R}=\sqrt{R_1R_2}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{R}}=\dfrac{1}{\sqrt{R_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{R_2}}\).

P/s: Hình như bạn nhầm đề

Ai giúp câu a, câu d vs

( Mình sẽ làm tắt nha bạn, mấy chỗ đấy nó dễ rùi nếu ko hiểu thì cmt nhé )

a) Ta có: \(O_1B//O_2C\)( cùng vuông góc với BC )

\(\Rightarrow\widehat{BO_1A}+\widehat{CO_2A}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\left(180^0-2\widehat{BAO_1}\right)+\left(180^0-2\widehat{CAO_2}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\left(\widehat{BAO_1}+\widehat{CAO_2}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAO_1}+\widehat{CAO_2}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)

=> tam giác ABC vuông tại A

b) \(\widehat{O_1BA}+\widehat{MBA}=\widehat{O_1AB}+\widehat{BAM}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{O_1AM}=90^0\)

\(\Rightarrow AM\perp AO_1\)

=> AM là tiếp tuyến của \(\left(O_1\right)\)

CMTT : AM là tiếp tuyến của \(\left(O_2\right)\)

=> AM là tiếp tuyến chung của \(\left(O_1\right);\left(O_2\right)\)

+) Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{BMO_1}=\widehat{AMO_1}\\\widehat{CMO_2}=\widehat{AMO_2}\end{cases}}\)

Ta có; \(\widehat{BMO_1}+\widehat{AMO_1}+\widehat{CMO_2}+\widehat{AMO_2}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\left(\widehat{O_1AM}+\widehat{AMO_2}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{O_1AM}+\widehat{AMO_2}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{O_1MO_2}=90^0\)

\(\Rightarrow O_1M\perp O_2M\)

d) Ta có: \(\widehat{O_1BA}=\widehat{O_1AB}=\widehat{O_2AD}=\widehat{O_2DA}\)

\(\widehat{\Rightarrow O_1BA}=\widehat{O_2DA}\)mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow O_1B//O_2D\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AO_1}{AO_2}\left(1\right)\)

CMTT \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AO_1}{AO_2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\)

\(\Rightarrow AB.AC=AD.AE\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AD.AE\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ADE}=S_{\Delta ABC}\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

tam giác ABC có đường trung tuyến AI = 1/2 BC nên là tam giác vuông

vậy  B A C ^ = 90 o

 Nhận thấy tứ giác MFNE có góc M và N vuông --> góc MFN+góc MEN= 2 vuông (*) 
Lại có các tam giác AFB và MEN đồng dạng (vì có góc NME=gocFAB và góc MNE =góc FBA), suy ra góc AFB=góc MEN --> góc MFN=góc MEN (**), từ (*); (**) suy ra góc MFN=góc MEN =1 vuông 
--> tứ giác MENF là hình chữ nhật, từ đó dễ dàng suy ra tiếp FE vuông góc với AB 
b) Gọi I ; K lần lượt là trung điểm của O1O2 và MN. Áp dụng Talét dễ dàng tính được IK=5 
--> KD^2=ID^2-IK^2 =9^2 -5^2 =56 --> CD=2.KD= 4√14

Dài lắm,

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

O I O ' ^ = O I A ^ + O ' I A ^ = 1 2 A I B ^ + 1 2 A I C ^ = 1 2 A I B ^ + A I C ^

Vậy O I O ' ^ = 90 o